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\title[边值问题]{《常微分方程》第九章：边值问题}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[9.1.] 施图姆比较定理  
\item[9.2.] 施图姆-刘维尔边值问题的特征值
\item[9.3.] 特征函数系的正交性
\item[9.4.*] 一个非线形边值问题的例子
\item[9.5.] 周期边值问题

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.1. 引理9.1. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问题：设有二阶线性微分方程 
\begin{eqnarray}
y'' + p(x)y' +q(x)y = 0, 
\label{eq-9-0}
\end{eqnarray}
其中函数 $p(x),q(x)$ 在区间 $J$ 上是连续的。证明它的任何非零解在区间 $J$ 内的零点都是孤立的。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.1.  }

\begin{itemize}
\itemsep1em
\item  问：举例验证施图姆比较定理：设有两个齐次线性微分方程
\begin{eqnarray}
y'' + p(x)y' +q(x)y &=& 0, \label{eq-9-1}\\ 
y'' + p(x)y' +r(x)y &=& 0. \label{eq-9-2}
\end{eqnarray}
其中函数 $p(x),q(x),r(x)$ 在区间 $J$ 上是连续的。
设不等式 $q(x)\le r(x)$ 对 $x\in J$ 成立。
设 $y=\varphi(x)$ 是方程 (\ref{eq-9-1}) 的一个非零解，并设 $x_1<x_2$ 是 $\varphi(x)$ 的两个相邻的零点。
设 $y=\psi(x)$ 是方程 (\ref{eq-9-2}) 的任意非零解。
则存在 $\psi(x)$ 在区间 $[x_1,x_2]$ 中存在零点。


\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.2.1. 杆的弯曲问题 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：设有一根杆，以铰链固定于一端$x=\ell$, 而另一端 $x=0$ 则以支承固定。
设杆受到一个轴向载荷 $P$ 的作用。试讨论此杆可能出现的弯曲状态。

\begin{center}
\includegraphics [height=4cm, width=8cm]{curved-stick-under-pressure.png}
\end{center}

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.2.2.  }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：求边值问题
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
y'' + \lambda y =0, \\
y(0)=0, y(\ell)=0,
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
的特征值和相应的特征函数。

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.3.1. 引理9.5-9.6-9.7.   }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问题：考虑施图姆-刘维尔边值问题 
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
y'' + [\lambda +q(x)] y =0, \\
y(0)\cos\alpha + y'(0)\sin\alpha = 0, \,\,\,\,
y(1)\cos\beta + y'(1)\sin\beta = 0, \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
其中 $\lambda$ 是参数，函数 $q(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上是连续的。设常数 $\alpha, \beta$ 满足不等式 
$0\le \alpha < \pi$, $0< \beta \le \pi$. 则有

\begin{enumerate}
\item  有无限多个特征值 $\lambda_0< \lambda_1< \cdots< \lambda_n <\cdots$, 且 $\lim\limits_{n\to\infty}\lambda_n=\infty$. 

\item  对每个特征值，恰好有一个线性无关的特征函数 $\varphi_n(x)$.

\item  特征函数系在区间 $[0,1]$ 上组成一个正交系。

\item  设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的黎曼可积函数，且 $$\int_0^1 f(x)\varphi_n(x)dx=0, n=0,1,2,\cdots $$
则 $f(x)$ 几乎处处为零。

\end{enumerate}

%\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{9.3.2. 特征函数系的正交性 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  问：求边值问题
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}
y'' + \lambda y =0, \\
y(0)+y'(0)=0, y(1)=0. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
的特征值和相应的特征函数，验证特征函数系是相互正交的。

\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

